S2= 1+ 1/2？ + 1/3?

…

Sn= 1+ 1/n？ + 1/(n+ 1)？

Split the right side of Sn

Sn=[n？ (n+ 1)？ +(n+ 1)？ +n？ ]/[n？ (n+ 1)？ ]

=[n？ (n+ 1)？ +2n(n+ 1)+ 1]/(n？ (n+ 1)？ ]

=[n(n+ 1)+ 1]？ /[n？ (n+ 1)？ ]

∴√sn=[n(n+ 1)+ 1]/[n(n+ 1)]

= 1+ 1/[n(n+ 1)]

= 1+ 1/n- 1/(n+ 1)

∴ S=√S 1+√S2+…+√Sn。

=( 1+ 1/ 1- 1/2)+( 1+ 1/2- 1/3)+( 1+ 1/3- 1/4)+........+[ 1+ 1/n- 1/(n+ 1)]

= n+[ 1- 1/2+ 1/2- 1/3+ 1/3- 1/4+。 ......+ 1/n- 1/(n+ 1)]

= n+ 1- 1/(n+ 1)=[(n+ 1)？ - 1]/(n+ 1)=(n？ +2n)/(n+ 1)