The first kind:
Sin? Ten.
= (sin? x)? .
= [( 1 - cos2x)/2]? .
=( 1/8)( 1-3 cos 2 x+3 cos? 2x - cos? 2x).
= 1/8-(3/8)cos2x+(3/8)[( 1+cos4x)/2]-( 1/8)cos? 2x .
= 5/ 16-( 15/32)cos2x+(3/ 16)cos4x-( 1/32)cos6x .
The second type:
A(n) = ∫ sin? x dx .
= ∫ sin? xsinx dx .
= - ∫ sin? x d(cosx).
=-sin? xcosx + ∫ cosx? D (sin? )。
=-sin? xcosx + (n - 1)∫ cosx? Sin? x? cosx dx .
=-sin? xcosx + (n - 1)∫ sin? x? ( 1 - sin? x) dx .
=-sin? xcos x+(n- 1)A(n-2)-(n- 1)A(n).
[ 1 + (n - 1)]A(n) = - sin? xcosx + (n - 1)A(n - 2).
∴∫ Xin? x dx .
= (- 1/6)sin? xcosx + (5/6)∫ sin? x dx .
= (- 1/6)sin? xcosx + (5/6)[(- 1/4)sin? xcosx + (3/4)∫ sin? x dx].
= (- 1/6)sin? xcosx - (5/24)sin? xcos x+( 15/24)[(- 1/2)sinxcos x+( 1/2)∫dx].
= (- 1/6)sin? xcosx - (5/24)sin? xcosx-( 15/48)sinxcosx+ 15x/48+C .