The area is deduced as follows

Let M(x, y)

Derived from the second definition

F 1M=a+ex

F2M=a-ex

F 1F2=2c

Area S=F 1M×F2M×sina/2=(a? -e？ x？ ) Sina /2 (#)

F 1M？ +F2M？ -2F 1M×F2Mcosa=(2c)？ (Cosine theorem)

Answer? +e？ x？ +2aex+a？ +e？ x？ -2aex-2(a？ -e？ x？ )cosa=4c？

e？ x？ +e？ x？ cosa=2c？ +a？ cosa-a？

e？ x？ ( 1+cosa)=2c？ +a？ cosa-a？

e？ x？ =(2c？ +a？ cosa-a？ )/( 1+cosa)

(#)=[a？ -(2c？ +a？ cosa-a？ ) /( 1+cosa)] Sina /2

=(2a？ -2c？ ) Sina /( 1+cosa)/2=b? Sina /( 1+cosa)

Sina/( 1+cosa)=tan(a/2) (half-angle formula)

∴S=(#)=b？ Tan (1/2)