X ~ b (n, p), where n ≥ 1, 0.

p{x=k}=c(n,k)*p^k*( 1-p)^(n-k),k=0, 1，...，n。

EX=np，DX=np( 1-p)。

Proof method (1):

X is decomposed into the sum of n independent random variables, all of which obey the distribution of (0- 1), and the parameter is p:

X=X 1+X2+...+Xn，Xi~b( 1，p)，i= 1，2，...，n。

P{Xi=0}= 1-p，P(Xi= 1)=p

EXi=0*( 1-p)+ 1*p=p，

e(xi^2)=0^2*( 1-p)+ 1^2*p=p，

dxi=e(xi^2)-(exi)^2=p-p^2=p( 1-p).

EX=EX 1+EX2+...+EXn=np，

DX=DX 1+DX2+...+DXn=np( 1-p)。

Proof method (2):

EX =∑kb(k； n,p)=∑k*C(k,n)p^kq^(n-k)

=np∑c(k- 1,n- 1)p^(k- 1)q^(n- 1-k+ 1)

=np∑c(k,n- 1)p^kq^(n- 1-k)

= NP∑b(k； n- 1，p)

=np

DX=npq can be obtained by the formula dx = ex 2-(ex) 2.

ex^2=∑k^2b(k； Noun, noun)

=∑[k(k- 1)+k]b(k； Noun, noun)

=∑k(k- 1)b(k； n，p)+∑kb(k； Noun, noun)

=n(n- 1)p^2∑b(k； n-2，p)+np

=n(n- 1)p^2+np=n^2p^2+npq

=n^2p^2+npq

So dx = ex 2-(ex) 2 = n 2p 2+NPQ-n 2p 2.

=npq