Scheme 1: Derive with implicit function derivation formula:

The function F(x, y) = 2+xy-e (xy) = 0.

So dy/dx=- (? F/？ x)/(？ F/？ y)=-[y-ye^(xy)]/[x-xe^(xy)]=-y/x；

Solution 2: Direct deduction:

y+xy'=e^(xy)(y+xy')； x[ 1-e^(xy)]=-y[ 1-e^(xy)]； So y' =-y/x;

2。 Seek the limit

( 1) x？ π/4lim(tanx)^(tan2x)=x？ π/4lime^[(tan2x)ln(tanx)]

=x？ π/4lime^[2(tanx)ln(tanx)/( 1-tan？ The exponent of x)]e is 0/0, and Robita's law is used in the exponent.

=x？ π/4lime^[2(sec？ x)ln(tanx)+sec？ x]/[-2tanxsec？ x]

=x？ π/4lime^[ln(tanx)+ 1]/(-tanx)=e= 1/e.

(2)x？ 0+lim(x？ lnx)=x？ 0+lim[(lnx)/(x)]=x？ 0+lim[( 1/x)/(-nx)=x？ 0+lim[ 1/(-nx)]

=x？ 0+lim[x？ /(-n)]=0

(3)x？ 0+lim(cotx)^( 1/lnx)=x？ 0+lime^[(lncotx)/lnx]=x？ 0+lime^(-xcsc？ x/cotx)

=x？ 0+lime^[(-xcscx)/cosx]=x？ 0+lime^[(-x/sinx)/cosx]=x？ 0+lime^[- 1/cosx]=e= 1/e

(4)x？ 0+lim[x？ e^( 1/x？ )]=x？ 0+lim[e^( 1/x？ )]/(x)=x？ 0+lim[(-2x)e^( 1/x？ )]/(-2x)

=x？ 0+lime^( 1/x？ )=+∞

(4)x？ ∞lim( 1+a/x)^x=x？ ∞lim[( 1+a/x)^(x/a)]^a=(x/a)？ ∞lim[( 1+a/x)^(x/a)]^a=e^a

(5)x？ ∞lim[(sinx)/x]=0sinx is a bounded function.