1/( 1+x)+2/( 1+x^2)+4/( 1+x^4)+......+n/( 1+x^n)-2n/( 1-x^2n)

= 1/( 1+x)+2/( 1+x^2)+4/( 1+x^4)+......+[n( 1-x^n)-2n]/( 1-x^2n)

= 1/( 1+x)+2/( 1+x^2)+4/( 1+x^4)+......+[-n( 1+x^n)]/( 1-x^2n)

= 1/( 1+x)+2/( 1+x^2)+4/( 1+x^4)+......-n/( 1-x^n)

= 1/( 1+x)+2/( 1+x^2)-4/( 1-x^4)

= 1/( 1+x)-2/( 1-x^2)

=- 1/( 1-x)

= 1/(x- 1)