lim(x->； +∞)x^(5/4)*(lnx)^2/x√(x+ 1)
= lim(x->； +∞)x^( 1/4)*(lnx)^2/√(x+ 1)
Let t =1/x.
Original formula = lim (t->; 0)(-lnt)^2/[t^(- 1/4)*√( 1+t)]
= lim(t->； 0) (lnt)^2/t^(- 1/4)
= lim(t->； 0)2lnt*( 1/t)/[(- 1/4)*t^(-5/4)]
= lim(t->； 0) -8*(lnt)/t^(- 1/4)
= lim(t->； 0)-8*( 1/t)/[(- 1/4)*t^(-5/4)]
= lim(t->； 0) 32*t^( 1/4)
=0
Because 5/4 >; 1, so the original integral converges.